La suite de Fibonacci
Problème
Un couple de lapins vient de naître le 1er Janvier et deux mois plus tard il donne naissance à un couple de lapins, ensuite tous les mois il donne naissance à un nouveau couple. Il en est de même pour les nouveaux couples: ils suivent la même loi de reproduction. Combien obtient - on de couples de lapins au bout d'un an?
Chaque premier du mois, à partir du 1er Janvier jusqu'au 1er Janvier suivant, le nombre de couples de lapins se calcule aisément. On trouve:
1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233
En dehors des deux premiers nombres, chaque nombre est la somme des deux précédents. Une telle suite de nombres est appelée suite de Fibonacci, du nom de son inventeur Léonardo Fibonacci né et mort à Pise (1170-1250) qui a résolu le problème précédent. Au bout d'un an, le nombre total de couples de lapins sera 233. Ainsi, avec un seul couple de lapins nous obtenons, au bout d'une année, 233 couples de lapins! Ce qui est considérable!
Ce problème sur la prolifération des lapins nous sert d'introduction à une étude de cette suite bien connue.
Etude de la suite de Fibonacci
- Calculons le quotient de deux termes consécutifs de la suite:
8/5=1,6 13/8=1,625 21/13=1,61538.... 34/21=1,61904....55/34=1,61764.... 89/55=1,61818.... 144/89=1, 61797.... 233/144=1,61805....
Ces quotients se rapprochent de plus en plus de
= 1,61803.... qui n'est autre que le nombre d'or que l'on retrouve en architecture, dans la nature, les quasi-cristaux,... (voir l'article de mon blog du 6 Juillet 2013).- C'est une suite de Fibonacci qui apparaît dans le message codé du célèbre roman Da Vinci Code.
- Savez-vous qu'un Fib est un poème dont les nombres de syllabes des différents vers forment une suite de Fibonacci?
- Certains jeux ou problèmes de mathématiques font intervenir également une telle suite.
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