Les géodésiques

Après la quadrature du cercle (voir mon article précédent), je vais encore faire un peu de mathématiques mais en évitant tout calcul. Je donnerai diverses interprétations des géodésiques.

Géodésiques d'une sphère

On sait que la ligne droite est le plus court chemin d'un point à un autre sur une surface plane. Mais si la surface n'est pas plane quel est ce plus court chemin? Sur une sphère, par exemple, le plus court chemin n'est pas la ligne droite puisqu'on ne peut pas tracer de ligne droite sur une surface sphérique.

Ce plus court chemin s'appelle une géodésique. On démontre qu'une géodésique d'une sphère est un grand cercle de la sphère, son centre est le centre de la sphère.

Si on assimile la Terre à une sphère, les marins ou les aviateurs connaissaient bien ces géodésiques permettant de gagner du temps et du carburant.

Par exemple pour aller de Paris à Los Angeles si un avion emprunte une géodésique, il monte très haut vers le Nord sur un grand cercle de la Terre, frôlant même le cercle arctique.

Géodésiques d'un cylindre de révolution

Nous appellerons cylindre de révolution la surface engendrée par la révolution  autour d'un axe fixe (OO') d'un segment de droite  parallèle à (OO'). Ce segment de droite est une génératrice du cylindre. Si l'on découpe le cylindre suivant une génératrice et si on le met à plat sur un plan, on obtient un rectangle.

Le cylindre est une surface développable. D'une façon générale une surface développable est une surface que l'on peut mettre à plat sur un plan. On définit alors les géodésiques de la surface comme étant les courbes qui se développent suivant des lignes droites.  

Ainsi lorsqu'on développe un cylindre de révolution, les génératrices , les cercles, les hélices circulaires (voir fig.) se développent suivant des lignes droites. Ce sont les géodésiques du cylindre.

Géodésiques d'un cône de révolution

Un cône de révolution est aussi une surface développable. Ses géodésiques sont des génératrices ou de belles courbes que vous voyez sur la figure ci-contre.

Géodésiques de l'espace-temps

Rappelons que dans la théorie de la relativité générale d'Einstein publiée en 1915, l'Univers est un espace à 4 dimensions appelé espace-temps. La gravitation n'est plus une force d'attraction newtonienne mais une déformation de l'espace-temps par la présence d'un corps massif.On peut considérer l'espace-temps  comme un tissu élastique dans lequel est plongé un corps massif qui déforme le tissu, lui donne une certaine courbure.

Selon Einstein les masses, les rayons lumineux, arrivant dans ce champ de gravitation suivent  des géodésiques de l'espace-temps. 

Ces géodésiques sont encore les plus courts chemins dans l'espace-temps qui n'est plus un espace de notre géométrie euclidienne mais un autre espace, l'espace de Riemann.

 Une géodésique humaine !

                 
            "L'humour est le plus court chemin d'un homme à un autre"
                                                                                                  (Wolinsky)

Georges Wolinsky était journaliste et dessinateur à Charlie Hebdo. Il fut assassiné  par Daech le 7 janvier
2015. Ne l'oublions pas!